Προθερμαίνω το φούρνο στους 200°C ψήσιμο πάνω κάτω. Στρώνω με αντικολλητικό χαρτί τη λαμαρίνα του φούρνου. Ανακατεύω το λιωμένο βούτυρο με το ελαιόλαδο.

Πλένω τη μελιτζάνα, τη σκουπίζω και την κόβω σε λεπτές φέτες πάχους ½ εκ. Τις τοποθετώ σε μονή στρώση στη λαμαρίνα, αλείφω με το λιωμένο βούτυρο και στις δύο πλευρές, πασπαλίζω με τη ρίγανη, αλάτι και πιπέρι. Ψήνω τις μελιτζάνες για 10-15 λεπτά μέχρι να μαλακώσουν. Τις βγάζω από το φούρνο και τις αφήνω να κρυώσουν.

Τοποθετώ ένα αντικολλητικό χαρτί στον πάγκο της κουζίνας και στρώνω τις μελιτζάνες, φροντίζοντας οι φέτες να μισοκαλύπτουν η μια την άλλη, σχηματίζοντας ένα παραλληλόγραμμο.

Πασπαλίζω την επιφάνεια με το μισό σκληρό τυρί, στρώνω τις φέτες μοτσαρέλας, τις ντομάτες και λίγα φύλλα βασιλικού. Τυλίγω (με τη βοήθεια του χαρτιού) σε σφιχτό ρολό, πασπαλίζω με τη φρυγανιά και το υπόλοιπο σκληρό τυρί και κατόπιν το τυλίγω με το χαρτί και με μεμβράνη. Βάζω το ρολό στο ψυγείο για 1 ώρα.

Αφαιρώ τη μεμβράνη και το χαρτί, ραντίζω με όσο βούτυρο μου έχει απομείνει και ψήνω σε προθερμασμένο φούρνο στους 180°C αερόθερμο για 20 λεπτά.