Σε ένα μπολ βάζω 100 ml από το χλιαρό νερό, τη μαγιά και τη ζάχαρη και ανακατεύω μέχρι η μαγιά να διαλυθεί. Αφήνω το μπολ κατά μέρος για 10 - 15 λεπτά, μέχρι το μείγμα να αφρίσει.

Σε ένα μεγάλο μπολ (ή σε μια λεκάνη) ανακατεύω το κοσκινισμένο αλεύρι, το αλάτι και τη βανίλια. Κάνω μια λακκούβα στη μέση και ρίχνω το μείγμα της μαγιάς. Ανακατεύω καλά με το σύρμα και σταδιακά προσθέτω το υπόλοιπο χλιαρό νερό ή όσο «πάρει», μέχρι να φτιάξω ένα μέτριο χυλό σχετικά πυκνό. Σκεπάζω το μπολ με μια καθαρή πετσέτα και το αφήνω για 1 ώρα σε ένα σχετικά χλιαρό μέρος, μακριά από ρεύματα αέρα, μέχρι ο χυλός να φουσκώσει καλά και να εμφανιστούν μικρές φουσκάλες στην επιφάνειά του.

Σε ένα κατσαρολάκι ρίχνω άφθονο λάδι, μέχρι η στάθμη του να φτάσει λίγο πιο πάνω από τη μέση του σκεύους. Το ζεσταίνω σε μέτρια προς δυνατή φωτιά μέχρι να κάψει και να αρχίσει να αχνίζει.

Ρίχνω το χυλό σε δόσεις, ως εξής: βάζουμε στη χούφτα μου μια ποσότητα χυλού, κλείνω σφικτά τη χούφτα σε γροθιά, πάνω από τη λεκάνη με το χυλό, και με ένα κουτάλι παίρνω την ποσότητα που θα βγει από την επάνω μεριά της γροθιάς μου. Η ποσότητα αυτή είναι ένας λουκουμάς. Ρίχνω την κουταλιά στο καυτό λάδι. Συνεχίζω με άλλους 5 - 6 λουκουμάδες που φτιάχνω με τον ίδιο τρόπο και τους τηγανίζω για 3 - 4 λεπτά, αναποδογυρίζοντάς τους μέσα στο λάδι, μέχρι να φουσκώσουν, να ανέβουν στην επιφάνεια και να ροδίσουν ομοιόμορφα. Τους βγάζω με τρυπητή κουτάλα και τους αφήνω να στραγγίξουν σε απορροφητικό χαρτί κουζίνας. Συνεχίζω με τον ίδιο τρόπο με τον υπόλοιπο χυλό, βάζοντας κάθε φορά στο λάδι μέχρι 7 - 8 κουταλιές χυλού.

Βάζω τους λουκουμάδες σε μια μεγάλη πιατέλα, και τους πασπαλίζω με ζάχαρη και κανέλα.
Εναλλακτικά, ζεσταίνω σε ένα κατσαρολάκι λίγο μέλι για να γίνει ρευστό και τους ραντίζω.