Βάζω σε μια μεγάλη λεκάνη το αλεύρι, το νερό, το αλάτι και τη 1 κουταλιά ελαιόλαδο. Ξεκινάω ανακατεύοντας τα υλικά μέχρι να αναμειχθούν και κατόπιν μεταφέρω το μείγμα στον πάγκο της κουζίνας και ζυμώνω με δύναμη για 8-10 λεπτά μέχρι δημιουργηθεί μια σφιχτή ζύμη. Βάζω τη ζύμη σε λαδωμένο μπολ, τη σκεπάζω με μεμβράνη και την αφήνω να ξεκουραστεί για 2 ώρες.

Μεταφέρω στον πάγκο της κουζίνας και κόβω σε 4 ίδια κομμάτια. Πλάθω σε στρογγυλά μπαλάκια, τα σκεπάζω και τα αφήνω να ξεκουραστούν για 20 λεπτά. Πιέζω με τις παλάμες μου τα μπαλάκια ζύμης για να γίνουν πλατιά, τα σκεπάζω και τα ξεκουράζω για 20 λεπτά ακόμη.

Αλείφω τον πάγκο της κουζίνας με το ελαιόλαδο. Παίρνω το πρώτο «πιτάκι» ζύμη και το «τραβάω» απαλά μέχρι να ανοίξει και να γίνει ένα διάφανο φύλλο. Αλείφω καλά το φύλλο με βούτυρο και σκορπίζω αρκετή θρυμματισμένη φέτα. Διπλώνω το φύλλο σε σχήμα φακέλου και το αφήνω στην άκρη. Ακολουθώ την ίδια διαδικασία με το δεύτερο φύλλο και τοποθετώ τον φάκελο επάνω από τον πρώτο. Επαναλαμβάνω την ίδια διαδικασία με τα άλλα δύο μπαλάκια ζύμης τοποθετώντας τα κι αυτά το ένα πάνω στο άλλο.

Σε ένα βαθύ τηγάνι βάζω αρκετό ελαιόλαδο να ζεσταθεί σε μέτρια φωτιά. Πιέζω τα δύο πρώτα ζυμαράκια με τις παλάμες μου ώστε να ενωθούν μεταξύ τους, να γίνουν λεπτά και όσο γίνεται, στρογγυλά, δημιουργώντας έτσι μια στρογγυλή πιτούλα. Τη μεταφέρω στο τηγάνι με το ελαιόλαδο και την αφήνω να τηγανιστεί καλά για 4-5 λεπτά. Γυρίζω και από την άλλη πλευρά και συνεχίζω το τηγάνισμα για 3 λεπτά ακόμη.

Μεταφέρω την πιτούλα σε πιάτο στρωμένο με χαρτί κουζίνας να στραγγίξει και επαναλαμβάνω τη διαδικασία με τα δεύτερα ζυμαράκια.
Σερβίρω τις πίτες αμέσως.