Σε μια μεγάλη κατσαρόλα με αλατισμένο νερό βράζω τα ριγκατόνι αλ ντέντε.

Σε ένα μεγάλο τηγάνι βάζω το μισό βούτυρο και το μισό ελαιόλαδο και μόλις ζεσταθεί καλά τηγανίζω τις φέτες μελιτζάνας μέχρι να ροδίσουν. Τις βγάζω και τις αφήνω σε πιάτο στρωμένο με αντικολλητικό χαρτί να στραγγίξουν. Επαναφέρω το τηγάνι στη φωτιά και ρίχνω τους κύβους μελιτζάνας και τους σοτάρω για 6-8 λεπτά μέχρι να ροδίσουν καλά. Αδειάζω τους κύβους σε ένα άλλο πιάτο. Τέλος, ρίχνω τα ντοματίνια με την κομμένη πλευρά προς τα κάτω και τα αφήνω να ροδίσουν. Τα βγάζω και τα αφήνω στην άκρη.

Ρίχνω στο τηγάνι το υπόλοιπο βούτυρο και ελαιόλαδο και μόλις ζεσταθούν ρίχνω το σκόρδο και σοτάρω για 1 λεπτό. Προσθέτω τις ψιλοκομμένες ντομάτες ντομάτες και το μισό βασιλικό, αλατοπιπερώνω και μαγειρεύω για 15 λεπτά. Ρίχνω τα βρασμένα ριγκατόνι, τους κύβους μελιτζάνας και το μισό τριμμένο τυρί και ανακινώ.

Μοιράζω το φαγητό στα πιάτα και σκορπίζω τις φέτες μελιτζάνας, τα ντοματίνια, τα υπόλοιπα φύλλα βασιλικού και το υπόλοιπο τυρί. Πασπαλίζω με φρεσκοτριμμένο πιπέρι και σερβίρω αμέσως.