Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C αερόθερμο. Σε ένα μεγάλο μπολ (αρκετά μεγάλο γιατί θα μπουν και τα μήλα) ανακατεύω με το σύρμα τα αυγά, τη ζάχαρη, το αλεύρι, το μπέικιν πάουντερ και το λιωμένο βούτυρο. Προσθέτω το γάλα και και το ρούμι και συνεχίζω να ανακατεύω μέχρι να αραιώσει το μείγμα και να διαλυθούν τα τυχόν κομπάκια.

Καθαρίζω τα μήλα, τα κόβω στα τέσσερα και αφαιρώ τους πυρήνες. Τα κόβω σε πολύ λεπτές φέτες με το μαντολίνο. Μεταφέρω τις φέτες των μήλων στο μπολ με το μείγμα και ανακατεύω απαλά για να καλυφθούν όλες οι φέτες.

Βουτυρώνω καλά μια φόρμα διαμέτρου 20 εκ. και ρίχνω το 1/3 της ποσότητας των μήλων, απλώνω μια στρώση μύρτιλα και από πάνω σκεπάζω με το δεύτερο 1/3 από τα μήλα. Καλύπτω με τα υπόλοιπα μύρτιλα και τελειώνω με την τελευταία δόση των μήλων. Ισιώνω την επιφάνεια και ψήνω για 35-40 λεπτά.

Αφήνω τη μηλόπιτα να κρυώσει, την ξεφορμάρω και διακοσμώ με φρέσκα μύρτιλα και ζάχαρη άχνη.