Για τη ζύμη:

1. Βάζω στο μίξερ τον γάντζο και ρίχνω στον κάδο το αλεύρι τσουρεκιού, την μαγιά, τη ζάχαρη, το αλάτι, το νερό και τα αυγά. Χτυπάω σε χαμηλή ταχύτητα για 3-4 λεπτά μέχρι το αλεύρι να ενσωματωθεί με τα υγρά συστατικά. Η ζύμη, σ’ αυτή τη φάση, θα είναι σκληρή και θα φαίνεται στεγνή.
   

2. Με το μίξερ σε χαμηλή ταχύτητα, προσθέτω το βούτυρο, 1 κομμάτι τη φορά. Προσθέτω το επόμενο μόλις το πρώτο κομμάτι ενωθεί στη ζύμη. Αφού προσθέσω όλο το βούτυρο, συνεχίζω το χτύπημα σε χαμηλή ταχύτητα για περίπου 10 λεπτά. Περιστασιακά, σταμάτω το μίξερ και ξύνω τα τοιχώματα του κάδου, για να ενωθούν τα κολλημένα υλικά, στη ζύμη.
   

3. Μόλις το βούτυρο ενσωματωθεί, γυρίζω την ταχύτητα σε μεσαία, και χτυπάω για άλλα 15 λεπτά, έως ότου η ζύμη γίνει κολλώδης, μαλακή και κάπως γυαλιστερή. Δυναμώνω την ένταση και χτυπάω για 1 λεπτό ακόμα. Πρέπει να ακούω τη ζύμη να κάνει έναν ήχο, καθώς χτυπάει στις πλευρές του κάδου. Δοκιμάζω τη ζύμη τραβώντας την. Θα πρέπει να τεντώνεται. Εάν φαίνεται υγρή και χαλαρή προσθέτω λίγο αλεύρι. Αν κόβεται καθώς την τραβάω, συνεχίζω το χτύπημα σε μέτρια ταχύτητα για άλλα 2-3 λεπτά. Είναι έτοιμη, όταν όλη η ζύμη, τυλιχτεί γύρω από τον γάντζο.Σκεπάζω τον κάδο με μεμβράνη και αφήνω να φουσκώσει για 1 ώρα.
   

Για τα κουλούρια:

1. Στρώνω με αντικολλητικό χαρτί 2 λαμαρίνες του φούρνου.
   

2. Σε ένα μπολ ανακατεύω τα υλικά της γέμισης.
   Χωρίζω τη ζύμη σε 6-8 μερίδες ανάλογα με το μέγεθος που θέλω να έχουν τα κουλούρια. Σε αλευρωμένη επιφάνεια φτιάχνω κορδόνια σχετικά χοντρά και με τον πλάστη τα πιέζω για να γίνουν πλατιά.
   

3. Γεμίζω κατά μήκος με τα υλικά της γέμισης και κλείνω καλά φτιάχνοντας ένα χοντρό κορδόνι. Βρέχω λίγο τις άκρες του και το ενώνω καλά.
   

4. Τοποθετώ τα κουλούρια στις λαμαρίνες και τα αφήνω για 20 λεπτά να φουσκώσουν. Αλείφω με το μείγμα αυγό-βούτυρο, πασπαλίζω με χοντρό αλάτι και σουσάμι και ψήνω στο φούρνο για 30 λεπτά μέχρι να ροδίσουν.