Σε ένα μεγάλο μπολ ανακατεύω το αλεύρι, τη ζάχαρη, το κακουλέ, το μαχλέπι και τη μαγιά. Κάνω μια λακούβα στο κέντρο και ρίχνω το σπορέλαιο και το χλιαρό νερό. Ξεκινάω να ανακατεύω και προσθέτω το αλάτι. Ζυμώνω μέχρι να δημιουργηθεί μια απαλή και ελαστική ζύμη. Σκεπάζω το μπολ με μεμβράνη και το αφήνω σε ζεστό μέρος για 1 ώρα, μέχρι να φουσκώσει.

Μεταφέρω τη ζύμη σε ελαφρώς αλευρωμένο πάγκο και την ξεφουσκώνω. Κόβω από τη ζύμη, δύο κομμάτια βάρους 200 γρ. και 4 κομμάτια των 100 γρ.

Πλάθω όλα τα κομμάτια ζύμης και μακριά μπαστούνια. Τοποθετώ τα δύο μπαστούνια βάρους 200 γρ. παράλληλα με μια μικρή απόσταση μεταξύ τους, επάνω σε ένα κομμάτι αντικολλητικό χαρτί.

Βάζω τα κροκάν σε ένα ίσιο πιάτο και σε ένα άλλο βάζω λίγο νερό. Βουτάω τα 2 μπαστούνια των 100 γρ. πρώτα στο νερό και κατόπιν τα «πανάρω» στο κροκάν.

Μοιράζω τα 4 μπαστούνια σε ζευγάρια (1 με κροκάν και 1 χωρίς). Τα τοποθετώ επάνω στα χοντρά μπαστούνια και τα πλέκω σε σχήμα στεφανιού.*
Σκεπάζω το στεφάνι με πετσέτα και το αφήνω για 45 λεπτά να φουσκώσει.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C αερόθερμο. Αλείφω το τσουρέκι με το χτυπημένο αυγό και ψήνω στο φούρνο για 30-35 λεπτά.