Σε ένα μεγάλο μπολ ανακατεύω το βρασμένο ρύζι, τα τυριά, την κρέμα γάλακτος, τις λιαστές ντομάτες, το αυγό, το δυόσμο, λίγο αλάτι και μπόλικο φρεσκοτριμμένο πιπέρι.

Ανοίγω τα φύλλα κρούστας στον πάγκο της κουζίνας και με ένα μαχαίρι τα κόβω από την μακριά πλευρά στη μέση, δημιουργώντας 2 μακριές λωρίδες από το κάθε ένα φύλλο (σύνολο 20 λωρίδες).

Σε ένα βαθύ τηγάνι βάζω αρκετό ελαιόλαδο να ζεσταθεί σε μέτρια φωτιά. Αλείφω την πρώτη λωρίδα φύλλου με λιωμένο βούτυρο και βάζω στην άκρη του φύλλου 2 γεμάτες κουταλιές γέμιση. Κλείνω πρώτα δεξιά κι αριστερά το φύλλο και κατόπιν το ρολάρω μέχρι το τέλος, δημιουργώντας ένα μακρύ ρολάκι. Συνεχίζω με τα υπόλοιπα υλικά μέχρι να τελειώσουν.

Τηγανίζω τα μπουρέκια λίγα λίγα (για να μην πέσει η θερμοκρασία του ελαιολάδου) μέχρι να ροδίσουν ολόγυρα. Τα βγάζω με τσιμπίδα και τα αφήνω σε πιάτο στρωμένο με χαρτί κουζίνας να στραγγίξουν.
Τα σερβίρω ζεστά.