Παίρνω ½ φλυτζάνι από το μετρημένο γάλα και το ζεσταίνω ελάχιστα (να γίνει χλιαρό). Το ρίχνω σε ένα μπολ και προσθέτω θρυμματισμένη τη μαγιά. Ανακατεύω καλά μέχρι να διαλυθεί εντελώς και προσθέτω 4 κουταλιές από το αλεύρι. Ανακατεύω ξανά και αφήνω το μίγμα της μαγιάς σε ζεστό μέρος μέχρι να φουσκώσει.

Σε μια μικρή κατσαρόλα βάζω το υπόλοιπο γάλα, τη ζάχαρη, τα αυγά, το μαχλέπι, τη μισή μαστίχα και 150 γρ. από το βούτυρο. Ανακατεύω καλά και ζεσταίνω το μίγμα μέχρι να λιώσει το βούτυρο. Σε ένα άλλο κατσαρολάκι λιώνω το υπόλοιπο βούτυρο και το κρατάω κοντά μου.

Σε μια μεγάλη λεκάνη ρίχνω όλο το αλεύρι και κάνω μια λακούβα στο κέντρο. Ρίχνω το μίγμα της μαγιάς και το μισό μίγμα των αυγών. Ζυμώνω καλά όλα τα υλικά. Ρίχνω στη λεκάνη και το υπόλοιπο μίγμα των αυγών και συνεχίζω το ζύμωμα βρέχοντας τακτικά τα χέρια μου με το λιωμένο βούτυρο. Η ζύμη δεν πρέπει να είναι ούτε σφιχτή, ούτε μαλακή. Αν θεωρήσω ότι είναι περισσότερο μαλακή απ’ όσο πρέπει, προσθέτω λίγο αλεύρι ακόμα. Όταν τελειώσω με το ζύμωμα, σκεπάζω τη ζύμη και την αφήνω σε ζεστό μέρος για 2-2½ ώρες για να φουσκώσει.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C. Βουτυρώνω ένα ταψί διαμέτρου 36-38 εκ. Σε ένα μπολ ανακατεύω τα υλικά της γέμισης.

Αδειάζω τη ζύμη στον πάγκο της κουζίνας και με τις παλάμες μου την απλώνω λίγο σε χοντρό, στρογγυλό φύλλο. Αδειάζω τη γέμιση στο κέντρο και την απλώνω (όχι μέχρι τις άκρες της ζύμης). Πιάνω τη ζύμη από την άκρη και την κλείνω εγκλωβίζοντας τη γέμιση, δίνοντας και πάλι, σχήμα κυκλικό. Μεταφέρω την πίτα στο ταψί, τη σκεπάζω και την αφήνω για 30 λεπτά περίπου μέχρι να φουσκώσει. Τέλος, την αλείφω με το χτυπημένο αυγό και πασπαλίζω με χοντροσπασμένα αμύγδαλα. Ψήνω για 50-60 λεπτά έχοντας κατά νου να την σκεπάσω μόλις πάρει χρώμα για να μη μου αρπάξει.

Βγάζω την πίτα από το φούρνο και την αφήνω στο ταψί για 10 λεπτά περίπου. Την ξεφορμάρω και την αφήνω σε σχάρα να κρυώσει τελείως.
Καλή Χρονιά!