Σε ένα κατσαρολάκι βάζω το γάλα, το βούτυρο, τη ζάχαρη, το μαχλέπι και τη μαστίχα. Τα ζεσταίνω σε μέτρια φωτιά, μέχρι να γίνει χλιαρό.

Αποσύρω το σκεύος από τη φωτιά, προσθέτω τη μαγιά, ανακατεύω ξανά και τέλος ρίχνω το αυγό και τον 1 κρόκο. Ανακατεύω ξανά με το σύρμα μέχρι να φτιάξω λείο μείγμα και το αδειάζω σε μια λεκάνη (ή στον κάδο του μίξερ πάγκου). Αρχίζω να ρίχνω σταδιακά το αλεύρι και ανακατεύω με το χέρι (ή ζυμώνω με το εξάρτημα «γάντζος» του μίξερ), μέχρι να ενωθούν τα υλικά και να σχηματιστεί μια μέτρια ζύμη.

Τη ζυμώνω για 7 - 8 λεπτά, μέχρι να αρχίσει να ξεκολλάει από τα χέρι (στο μίξερ χρειάζεται λιγότερο διάστημα και η ζύμη είναι έτοιμη όταν αρχίσει να τυλίγεται ολόκληρη γύρω από τον γάντζο). Πλάθω τη ζύμη σε μπάλα μέσα στη λεκάνη, τη σκεπάζω με μια λεπτή κουβέρτα ή με καθαρές βαμβακερές πετσέτες και αφήνω τη λεκάνη σε ένα σχετικά ζεστό μέρος (σε ηλιόλουστο παράθυρο ή κοντά σε πηγή θερμότητας), μακριά από ρεύματα αέρα. Αφήνω εκεί τη ζύμη για 2 ώρες μέχρι να διπλασιαστεί σε όγκο. Ξεσκεπάζω τη ζύμη και τη χωρίζω σε 4 ίσα μέρη. Πλάθω το καθένα σε μακρόστενο ρολό και τα πλέκω σε στρογγυλή κουλούρα.

Στρώνω με λαδόκολλα ένα ταψί, μεταφέρω εκεί το τσουρέκι και σκεπάζω το ταψί ξανά με μια κουβέρτα ή με πετσέτες. Το αφήνω ξανά σε ζεστό μέρος για άλλη 1 ώρα, μέχρι να φουσκώσει.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 150°C αερόθερμο. Αλείφω την επιφάνεια του τσουρεκιού με τον δεύτερο κρόκο και πασπαλίζω φιλέ αμυγδάλου. Βάζω το ταψί στο φούρνο και ψήνω το τσουρέκι για περίπου 25-30 λεπτά, μέχρι η επιφάνειά του να ροδίσει καλά και να γυαλίσει.