Σε μια μεγάλη κατσαρόλα βάζω το γάλα, το ρύζι και λίγο αλάτι και μαγειρεύω σε χαμηλή φωτιά μέχρι το ρύζι να απορροφήσει όλα τα υγρά. Κατά διαστήματα ανακατεύω με ξύλινη κουτάλα για να μην κολλήσει το ρύζι. Αποσύρω από την φωτιά, το σκεπάζω με μια πετσέτα και το αφήνω στην άκρη.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C με αέρα. Βουτυρώνω καλά μια φόρμα με αποσπώμενα τοιχώματα διαμέτρου 24 εκ. Αλείφω με το λιωμένο βούτυρο τα μισά φύλλα και τα στρώνω τσαλακωτά στην βουτυρωμένη φόρμα καλύπτοντας βάση και τοιχώματα.

Ξεσκεπάζω το ρύζι, πετάω τα ξυλάκια κανέλα και προσθέτω τη ζάχαρη και τη βανίλια. Ανακατεύω καλά και αδειάζω το μισό μείγμα στη φόρμα. Ισιώνω καλά και προσθέτω τη μαρμελάδα σύκο. Την απλώνω να καλύψει όλη την επιφάνεια και προσθέτω το υπόλοιπο ρύζι.

Βουτυρώνω καλά τα υπόλοιπα φύλλα και τα στρώνω τσαλακωτά σε όλη την επιφάνεια της πίτας. Αλείφω με όσο βούτυρο έχει απομείνει και ψήνω στο φούρνο για 45-50 λεπτά μέχρι να ροδίσει.

Βγάζω από το φούρνο και αφήνω την πίτα να σταθεί για 15 λεπτά. Ξεφορμάρω και την αφήνω σε σχάρα να κρυώσει. Σερβίρω σε κομμάτια πασπαλίζοντας με ζάχαρη και κανέλα.