Σε μια φαρδιά και ρηχή κατσαρόλα ζεσταίνω το ελαιόλαδο σε μέτρια φωτιά και σοτάρω το κρεμμύδι για 2 λεπτά, μέχρι να μαλακώσει. Ρίχνω τα φασολάκια, τα αλατίζω αμέσως και τα σοτάρω για περίπου 3 λεπτά, ανακατεύοντας με μια ξύλινη κουτάλα.

Προσθέτω 100 ml χλιαρό νερό και αφήνω τα φασολάκια να αχνιστούν για 5 - 7 λεπτά ή μέχρι να «πιουν» το νερό και να μαλακώσουν. Αποσύρω το σκεύος από τη φωτιά και αφήνω κατά μέρος, μέχρι τα φασολάκια να γίνουν χλιαρά.

Σε ένα μπολ βάζω τη λιωμένη φέτα, το κατίκι, τα αυγά, τον ψιλοκομμένο μαϊντανό, αλάτι και μπόλικο πιπέρι. Ανακατεύω πολύ καλά για να φτιάξω ένα μείγμα λείο και κρεμώδες.

Στραγγίζω το μείγμα από φασολάκια σε μια λεπτή σήτα, το αδειάζω στο μπολ με την κρέμα φέτας και ανακατεύω καλά.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C. Στρώνω με αντικολλητικό χαρτί ψησίματος ένα στρογγυλό ταψάκι ή φόρμα για τάρτες, διαμέτρου 26 - 28 εκ. ή δύο μέτριες μακρόστενες φόρμες.

Απλώνω τη ζύμη κουρού στο ταψάκι, επάνω στο χαρτί, εφαρμόζοντας καλά στα τοιχώματα, και κόβω τα περισσεύματα. Αδειάζω στη ζύμη το μείγμα της γέμισης, ισιώνω την επιφάνεια και καλύπτω με τις φέτες ντομάτας.

Ραντίζω με λίγο ελαιόλαδο, βάζω το ταψάκι στο μεσαίο ράφι του φούρνου και ψήνω την τάρτα για 45 λεπτά. Τη σερβίρω χλιαρή.