Καθαρίζω τις πατάτες, τις τρίβω στο χοντρό του τρίφτη, τις αλατίζω και τις αφήνω στο σουρωτήρι. Βάζω ένα μεγάλο τηγάνι σε μέτρια φωτιά. Ρίχνω 20 γρ. από το βούτυρο και 1 κουταλιά ελαιόλαδο και μόλις ζεσταθούν ρίχνω τα πράσα. Αλατοπιπερώνω και μαγειρεύω για 20 λεπτά περίπου μέχρι να μαλακώσουν και να ροδίσουν ελαφρά. Αδειάζω τα πράσα σε ένα πιάτο και σκουπίζω το τηγάνι με χαρτί κουζίνας.

Βάζω τις τριμμένες πατάτες σε μια βαμβακερή πετσέτα και τις στίβω καλά για να αποβάλλουν όλα τα υγρά τους. Βάζω ξανά το τηγάνι στη φωτιά και ζεσταίνω 20 γρ. βούτυρο και 1 κουταλιά ελαιόλαδο. Ρίχνω τις μισές τριμμένες πατάτες, πιέζω με μια σπάτουλα για να καλύψω όλη την επιφάνεια του τηγανιού σε ομοιόμορφη στρώση. Απλώνω τα σοταρισμένα πράσα και το τυρί και σκεπάζω με τις υπόλοιπες τριμμένες πατάτες. Σκεπάζω το τηγάνι και ψήνω για 8-10 λεπτά (ελέγχω τακτικά αν ροδίσουν από την κάτω μεριά). Με τη βοήθεια ενός πιάτου, βγάζω την πίτα και ρίχνω στο τηγάνι το τελευταίο βούτυρο και ελαιόλαδο. Αναποδογυρίζω την πίτα με τη βοήθεια του πιάτου και σκεπάζω με το καπάκι. Μαγειρεύω για 6-8 λεπτά μέχρι να ροδίσει και από την κάτω μεριά.

Σερβίρω την πίτα ζεστή πασπαλίζοντας με λίγο τριμμένο τυρί.