Κοτομπουγάτσα με τυρί

Σε μια μέτρια κατσαρόλα ζεσταίνω το γάλα σε μέτρια φωτιά και, λίγο πριν δω ότι πάει να πάρει βράση, ρίχνω πασπαλιστά το σιμιγδάλι, ανακατεύοντας συνέχεια με το σύρμα. Χαμηλώνω ελαφρώς τη φωτιά και μαγειρεύω για περίπου 5 λεπτά ή μέχρι το μείγμα να αρχίσει να πήζει, ανακατεύοντας πολύ συχνά ώστε να μην κολλήσει αλλά και για να διαλυθούν τυχόν κομπαλάκια. Προσθέτω το βούτυρο, ανακατεύω μέχρι να λιώσει και αποσύρω την κατσαρόλα από τη φωτιά. Στη συνέχεια προσθέτω τα κομματιασμένα τυριά και τα αυγά και ανακατεύω καλά. Τέλος, ρίχνω λίγο τριμμένο μπαχάρι, αλάτι και πιπέρι, ανακατεύω και αφήνω την κρέμα κατά μέρος, σκεπασμένη με διάφανη μεμβράνη, την οποία εφαρμόζω πάνω στην επιφάνεια της κρέμας, ώστε να μην κάνει πέτσα. Αφήνω την κρέμα να κρυώσει ελαφρώς.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C. Λαδώνω ένα μέτριο ορθογώνιο πυρίμαχο ταψάκι (χρησιμοποιώ το τυπικό σπιτικό ταψάκι με διαστάσεις περίπου 40 x 28 εκ.) και στρώνω 5 από τα φύλλα κρούστας, λαδωμένα και αυτά με πινέλο, ένα-ένα.
Αφρατεύω την κρέμα με το σύρμα και προσθέτω το κοτόπουλο. Ανακατεύω και την αδειάζω στο ταψάκι. Ισιώνω καλά και τη σκεπάζω με τα υπόλοιπα 5 ή 6 φύλλα κρούστας (ανάλογα με το πόσα περιέχει το πακέτο), λαδωμένα και αυτά ένα-ένα.

Κόβω τις άκρες των φύλλων που εξέχουν από το ταψί, τις γυρίζω προς τα μέσα και τις στριμώχνω στα τοιχώματα του ταψιού. Αλείφω την επιφάνεια με λίγο ελαιόλαδο και βάζω το ταψί στο μεσαίο ράφι του φούρνου.
Ψήνω την πίτα για περίπου 45 λεπτά, μέχρι να ροδίσει η επιφάνεια. Τη σερβίρω ζεστή ή χλιαρή, αλλά όχι καυτή.