Γαλακτομπούρεκο

Βάζω όλα τα υλικά του σε μια κατσαρόλα και τα βράζω, για 8 - 10 λεπτά (μετράμε το χρόνο από τη στιγμή που θα πάρουν βράση). Αποσύρω από τη φωτιά, σουρώνω το σιρόπι και το αφήνω να κρυώσει εντελώς.

Σε μια κατσαρόλα ζεσταίνω το γάλα σε μέτρια φωτιά, προσέχοντας να μην κάψει και αφρίσει. Προσθέτω πασπαλιστά το σιμιγδάλι, ανακατεύοντας με το σύρμα, για να μην κολλήσει. Σιγοβράζω το μείγμα για περίπου 5 λεπτά, ανακατεύοντας διαρκώς, μέχρι να πήξει. Αποσύρω από τη φωτιά.

Σε ένα μεγάλο μπολ χτυπάω με το μίξερ τα αυγά με τη ζάχαρη και τα σποράκια βανίλιας (ή τη σκόνη), μέχρι να φτιάξω ένα ανοιχτόχρωμο και αφράτο μείγμα. Προσθέτω το πηχτό μείγμα γάλακτος-σιμιγδαλιού και ανακατεύω καλά, μέχρι να φτιάξω ένα ενιαίο και πυκνό  μείγμα. Καρφώνω σε ένα πιρούνι το παγωμένο βούτυρο και αλείφω την επιφάνεια της ζεστής κρέμας -το βούτυρο θα λιώσει αργά, σχηματίζοντας μια προστατευτική λιπαρή στρώση στην κρέμα, ώστε να μην σχηματιστεί πέτσα. Σκεπάζω το μπολ με διάφανη μεμβράνη και το αφήνω κατά μέρος, μέχρι η κρέμα να κρυώσει λίγο.

Με λίγο από το λιωμένο βούτυρο αλείφω ένα ορθογώνιο και βαθύ ταψί με διαστάσεις 28 x 22 εκ. και στρώνω εκεί τα μισά φύλλα, βουτυρωμένα καλά ένα-ένα. Αφήνω τις άκρες των φύλλων να εξέχουν από τα χείλη του ταψιού.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 180ºC. Ανακατεύω την κρέμα με το σύρμα για να διαλυθούν τυχόν κομπαλάκια και να γίνει λεία και την αδειάζω στο ταψί, στα βουτυρωμένα φύλλα. Ισιώνω καλά την επιφάνεια της κρέμας με μια σπάτουλα. Γυρίζω προς τα μέσα τις άκρες των φύλλων που εξέχουν, σκεπάζοντας την περιφέρεια της κρέμας. Κόβω τα υπόλοιπα φύλλα στις διαστάσεις του ταψιού, τα βουτυρώνω και αυτά ένα-ένα και σκεπάζω την κρέμα. Αλείφω με βούτυρο την επιφάνεια του γλυκού και το κόβω προσεκτικά σε καρεδάκια. Το ψήνω για 1 ώρα, μέχρι τα φύλλα να ροδίσουν.

Βγάζω το γαλακτομπούρεκο από το φούρνο και, όσο είναι καυτό, το περιχύνω με το κρύο σιρόπι. Το σερβίρω χλιαρό ή όταν κρυώσει.