Για την κρέμα

1. Βάζω τα κομμένα καρότα σε μια κατσαρόλα με νερό ίσα που να τα σκεπάζει και τα βράζω για 30 λεπτά. Τα αδειάζω σε ένα σουρωτήρι και τα αφήνω να στραγγίξουν καλά. Τα βάζω σε ένα μπολ και τα πολτοποιώ με το πρες πουρέ.

2. Σε ένα φλιτζάνι από το γάλα, ρίχνω το κορν φλάουρ και ανακατεύω καλά να διαλυθεί. Βάζω το υπόλοιπο γάλα σε μια κατσαρόλα και το ζεσταίνω χωρίς να το αφήσω να κάψει. Προσθέτω το διαλυμένο κορν φλάουρ και μαγειρεύω σε χαμηλή φωτιά ανακατεύοντας συνεχώς με το σύρμα μέχρι να πήξει η κρέμα. Αποσύρω από τη φωτιά και προσθέτω τη ζάχαρη, το βούτυρο, τα αυγά και τα πολτοποιημένα καρότα και δουλεύω με το σύρμα μέχρι να ενωθούν όλα τα υλικά. Σκεπάζω την κρέμα με μεμβράνη και την αφήνω να κρυώσει.

Για τις μπουγάτσες

1. Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C. Απλώνω 4 φύλλα κρούστας βουτυρωμένα μεταξύ τους και αδειάζω στο κέντρο την μισή ποσότητα της κρέμας. Κλείνω τα φύλλα σε φάκελο. Απλώνω άλλα δύο βουτυρωμένα φύλλα και τοποθετώ το φάκελο με το άνοιγμα προς τα κάτω και κλείνω και πάλι σε φάκελο.

2. Τοποθετώ την πρώτη μπουγάτσα σε μια λαμαρίνα στρωμένη με αντικολλητικό χαρτί και επαναλαμβάνω τη διαδικασία με την υπόλοιπη κρέμα.

3. Ψήνω τις μπουγάτσες για 35-40 λεπτά. Βγάζω από το φούρνο και πασπαλίζω με ζάχαρη άχνη και κανέλα.