Σε ένα κατσαρολάκι ζεσταίνω ελαφρά το βούτυρο, μέχρι απλώς να λιώσει. Προσθέτω το γάλα και τη σκόνη βανίλιας και ανακατεύω καλά. Αδειάζω το μείγμα στον κάδο του μίξερ (κατά προτίμηση σε ένα μίξερ πάγκου), χτυπάω για λίγο το μίξερ σε χαμηλή ταχύτητα και, σταδιακά, προσθέτω ένα-ένα τα αυγά, τη ζάχαρη και τη μαγιά. Αλλάζω το εξάρτημα του μίξερ και προσαρμόζω το εξάρτημα «γάντζος», κατάλληλο για ζύμες. Προσθέτω σταδιακά το αλεύρι και συνεχίζω το χτύπημα, μέχρι η ζύμη που θα φτιάξω να ξεκολλάει από τα τοιχώματα του κάδου.

Σκεπάζω το μπολ με διάφανη μεμβράνη και το αφήνω σε χλιαρό μέρος, για τουλάχιστον 1½ ώρα, μέχρι η ζύμη να φουσκώσει. Κατάλληλο μέρος είναι κάπου μακριά από ρεύματα αέρα και κοντά σε καλοριφέρ ή μπροστά από μια μπαλκονόπορτα (κλειστή) που να τη «χτυπά» ο ήλιος. Όταν η ζύμη φουσκώσει καλά τη μεταφέρω σε μια ελαφρώς αλευρωμένη επιφάνεια και, με τη γροθιά μου, πιέζω απαλά το κέντρο της ζύμης για να φύγει ο παραπανίσιος αέρας.

Ανοίγω τη ζύμη με τον πλάστη σε σχετικά χοντρό φύλλο, με πάχος 2 εκ. Παίρνω ένα στρογγυλό κουπ πατ (ή ένα πιατάκι του καφέ), με διάμετρο 9 εκ. και κόβω 6 δίσκους ζύμης. Με ένα μικρότερο κουπ πατ (ή με ένα ποτηράκι-σφηνάκι) κόβω ένα μικρότερο δισκάκι ζύμης, στο κέντρο κάθε μεγαλύτερου δίσκου. Ετσι, κάθε μεγάλος δίσκος θα έχει μια τρύπα στη μέση.

Ζεσταίνω άφθονο ελαιόλαδο σε μέτρια φωτιά, μέσα σε μια βαθιά κατσαρόλα, μέχρι να κάψει καλά. Ρίχνω μία-μία τις ροδέλες ζύμης στο καυτό λάδι, να κολυμπάνε, και τις τηγανίζω για 2 λεπτά από κάθε πλευρά, μέχρι να ροδίσουν μέτρια και να φουσκώσουν. Στραγγίζω τα ντόνατς σε απορροφητικό χαρτί κουζίνας.

Για να τα σερβίρω, μπορώ να τα περάσω από άφθονη κρυσταλλική ζάχαρη και από τις δύο πλευρές (ο γνωστός μας λουκουμάς) ή να τα περιχύσω με λιωμένη κουβερτούρα.