Για τη ζύμη

1. Βάζω στο μίξερ τον γάντζο και ρίχνω στον κάδο το αλεύρι για όλες τις χρήσεις, το αλεύρι τσουρεκιού, την μαγιά, τη ζάχαρη, το αλάτι, το νερό και τα αυγά. Χτυπάω σε χαμηλή ταχύτητα για 3-4 λεπτά μέχρι το αλεύρι να ενσωματωθεί με τα υγρά συστατικά. Η ζύμη, σ’ αυτή τη φάση, θα είναι σκληρή και θα φαίνεται στεγνή.

2. Με το μίξερ σε χαμηλή ταχύτητα, προσθέτω το βούτυρο, 1 κομμάτι τη φορά. Προσθέτω το επόμενο μόλις το πρώτο κομμάτι ενωθεί στη ζύμη. Αφού προσθέσω όλο το βούτυρο, συνεχίζω το χτύπημα σε χαμηλή ταχύτητα για περίπου 10 λεπτά. Περιστασιακά, σταμάτω το μίξερ και ξύνω τα τοιχώματα του κάδου, για να ενωθούν τα κολλημένα υλικά, στη ζύμη.

3. Μόλις το βούτυρο ενσωματωθεί, γυρίζω την ταχύτητα σε μεσαία, και χτυπάω για άλλα 15 λεπτά, έως ότου η ζύμη γίνει κολλώδης, μαλακή και κάπως γυαλιστερή.

4. Δυναμώνω την ένταση και χτυπάω για 1 λεπτό ακόμα. Πρέπει να ακούω τη ζύμη να κάνει έναν ήχο, καθώς χτυπάει στις πλευρές του κάδου. Δοκιμάζω τη ζύμη τραβώντας την. Θα πρέπει να τεντώνεται. Εάν φαίνεται υγρή και χαλαρή προσθέτω λίγο αλεύρι. Αν κόβεται καθώς την τραβάω, συνεχίζω το χτύπημα σε μέτρια ταχύτητα για άλλα 2-3 λεπτά. Είναι έτοιμη, όταν όλη η ζύμη, τυλιχτεί γύρω από τον γάντζο.

5. Σκεπάζω τον κάδο με μεμβράνη και βάζω στο ψυγείο για 6 ώρες. Σ’ αυτή τη φάση μπορώ να την βάλω στην κατάψυξη.

Για τα τυροκούλουρα

1. Στρώνω μια λαμαρίνα με αντικολλητικό χαρτί ψησίματος. Χωρίζω τη ζύμη σε 5-6 μπαλάκια. Σε ένα μπολ ανακατεύω τα υλικά για τη γέμιση (εκτός από τις φέτες για τοστ και το επιπλέον τυρί).

2. Σε αλευρωμένη επιφάνεια, ανοίγω το πρώτο μπαλάκι ζύμης σε στενή λωρίδα 30x10 εκ. (η μακριά πλευρά προς την πλευρά μου). Απλώνω επάνω μια δόση γέμισης αφήνοντας ακάλυπτο 1 εκατοστό από της άκρες της λωρίδας. Βρέχω λίγο τις άκρες και ενώ τη ζύμη εγκλωβίζοντας μέσα τη γέμιση, δημιουργώντας ένα μακρύ μπαστούνι. Κολλάω καλά της άκρες του ρολού δημιουργώντας ένα κουλούρι. Το μεταφέρω στη λαμαρίνα και συνεχίζω με τα υπόλοιπα υλικά.

3. Σκεπάζω της λαμαρίνα με μεμβράνη και αφήνω τα ρολά σε ζεστό μέρος για 2 ώρες για να φουσκώσουν.

4. Προθερμαίνω το φούρνο στους 175°C.
   Βγάζω τη μεμβράνη από τη λαμαρίνα και με ένα ψαλίδι «κόβω» μικρά ανοίγματα γύρω από κάθε κουλούρι. Αλείφω με λίγο χτυπημένο αυγό και πασπαλίζω με το επιπλέον τυρί. Τοποθετώ από μια φέτα τυρί για τοστ στο κέντρο του. Τοποθετώ τη λαμαρίνα στο κέντρο του φούρνου και ψήνω για 30-35 λεπτά (ο χρόνος εξαρτάται από το πόσο χοντρό είναι το ζυμάρι και το μέγεθος του κουλουριού) μέχρι να ροδίσουν καλά.