Σε ένα κατσαρολάκι βάζω 2 φλιτζάνια (400 ml) νερό και τα κομμένα κυδώνια και βράζω σε μέτρια φωτιά, για περίπου 40 λεπτά, ή μέχρι τα κυδώνια να μαλακώσουν αρκετά. Αν χρειαστεί, προσθέτω κι άλλο νερό κατά το βράσιμο. Τα στραγγίζω και τα πολτοποιώ στο μπλέντερ ή στο μούλτι.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 180°C. Στρώνω με λαδόκολλα ένα μεγάλο ταψί ή μια λαμαρίνα φούρνου.

Σε ένα μπολ χτυπάω τη ζάχαρη με το βούτυρο με το μίξερ χειρός, μέχρι το μείγμα να ασπρίσει και να αφρατέψει. Προσθέτω το αυγό και χτυπάω μέχρι να ενωθεί καλά με το μείγμα. Στη συνέχεια προσθέτω τον πολτό των κυδωνιών, χτυπάω μέχρι να αναμειχθούν τα υλικά και τέλος ρίχω το κοσκινισμένο αλεύρι, το μπέικιν πάουντερ και τα φιστίκια. Χτυπάω καλά μέχρι να φτιάξω ένα ομοιογενές και σχετικά σφικτό μείγμα, σαν ζυμάρι.

Το μεταφέρω σε μια ελαφρώς αλευρωμένη επιφάνεια και το πλάθω σε ρολό, με πάχος όσο μια λεπτή γαλλική μπαγκέτα. Με ένα κοφτερό μαχαίρι χωρίς δόντια κόβω το ρολό σε φετάκια, πάχους ½ - 1 εκ. Τα αραδιάζω σε σειρές στο ταψί, σε απόσταση 3 - 4 εκ. μεταξύ τους γιατί φουσκώνουν με το ψήσιμο. Τα ψήνω για 20 - 25 λεπτά, μέχρι να ροδίσουν ελαφρώς.