Προθερμαίνω το γκριλ σε δυνατή φωτιά.
Αραδιάζω τις πιπεριές, ολόκληρες, στη σχάρα του φούρνου την οποία τοποθετώ σε ένα από τα ψηλά ράφια του φούρνου. Τις ψήνω για 20 - 25 λεπτά, γυρίζοντάς τις τακτικά, μέχρι η φλούδα τους να μαυρίσει ομοιόμορφα. Τις βγάζω από το φούρνο, τις βάζω σε ένα μεγάλο μπολ και το σκεπάζω αμέσως με διάφανη μεμβράνη. Τις αφήνω έτσι καλά κλεισμένες για 15 λεπτά, ώστε οι εγκλωβισμένοι υδρατμοί να αποκολλήσουν τη φλούδα από τη σάρκα τους.

Τις βγάζω από το μπολ και τις στραγγίζω, κρατώντας το ζουμί που έχουν αφήσει στο μπολ. Τις ξεφλουδίζω (κάτι που γίνεται πανεύκολα), τις καθαρίζω από σπόρια, κοτσάνια και μεμβράνες και τις κόβω σε 2 - 3 μακριές λωρίδες την καθεμία.

Τα μεταφέρω σε ένα μέτριο γυάλινο βάζο, σε στρώσεις, βάζοντας ενδιάμεσα τα φύλλα του πλατύφυλλου βασιλικού. Προσθέτω το σκόρδο και το ζουμί που άφησαν οι πιπεριές στο μπολ και γεμίζω το βάζο έως επάνω με ελαιόλαδο. Κλείνω καλά το βάζο και το αφήνω στο ψυγείο. Διατηρώ εκεί τις πιπεριές για 2 μήνες.

Οι πιπεριές διατηρούνται εκεί για 1 μήνα. Κάθε φορά που θέλω να σερβίρω, βγάζω όσες λωρίδες χρειάζομαι και τις αφήνω για 10 λεπτά σε θερμοκρασία δωματίου, για να ξεπαγώσει το λάδι τους.