Για τη ζύμη

1. Σε ένα μικρό μπολάκι βάζω τη μαγιά με το μισό χλιαρό γάλα και ανακατεύω μέχρι να διαλυθεί. Μεταφέρω το μείγμα σε μεγαλύτερο μπολ, προσθέτω το υπόλοιπο γάλα, το μετρημένο νερό, το μετρημένο βούτυρο, το αλάτι και τη ζάχαρη και ανακατεύω μέχρι να αναμειχθούν όλα πολύ καλά.

2. Σε ένα άλλο, μεγάλο μπολ βάζω το αλεύρι, κάνω μια λακκούβα στη μέση και ρίχνω εκεί το υγρό μείγμα. Ανακατεύω με κυκλικές κινήσεις με το χέρι μου, φέρνοντας το αλεύρι προς το κέντρο και ενώνοντάς το με το υγρό μείγμα, μέχρι όλα μαζί τα υλικά να ενοποιηθούν. Ζυμώνω το μείγμα για 2 - 3 λεπτά, μέχρι να φτιάξω μια ζύμη μαλακή και ελαστική.

3. Τη μεταφέρω σε μια επίπεδη επιφάνεια και τη ζυμώνω με τις γροθιές μου για 10 λεπτά, ραντίζοντάς την κάθε τόσο με λίγες σταγόνες χλιαρό νερό. Η ζύμη πρέπει να γίνει πολύ μαλακή και ελαστική.

4. Τη μεταφέρω σε ένα μπολ, το σκεπάζω με μια πετσέτα και το αφήνω κατά μέρος για περίπου 45 λεπτά, μέχρι να φουσκώσει καλά και σχεδόν να διπλασιαστεί σε όγκο. Στη συνέχεια ζυμώνω ελαφρώς τη ζύμη και τη χωρίζω σε τέσσερα ίσα μέρη. Τα βάζω σε μια επίπεδη επιφάνεια, τα σκεπάζω και τα αφήνω ξανά κατά μέρος για άλλα 30 - 40 λεπτά, μέχρι να φουσκώσουν καλά.

Για τα πεϊνιρλί

1. Παίρνω το ένα κομμάτι ζύμης και το ανοίγω ελαφρώς με τον πλάστη, τραβώντας το πότε-πότε με τα χέρια για να γίνει ελαφρώς μακρουλό, με μήκος περίπου 20 εκ. Με προσοχή ανασηκώνω τις άκρες της ζύμης, φτιάχνοντας ένα χαμηλό τείχος περιμετρικά της, ώστε να γίνει σαν βαρκούλα. Επαναλαμβάνω τη διαδικασία με τα άλλα τρία κομμάτια ζύμης, φτιάχνοντας έτσι 4 πεϊνιρλί.

2. Προθερμαίνω το φούρνο στους 160°C. Στρώνω με λαδόκολλα μια λαμαρίνα φούρνου ή ένα μεγάλο και ρηχό ταψί. Βάζω εκεί τα πεϊνιρλί, το ένα δίπλα στο άλλο. Στη βάση καθενός βάζω από ½ κουτ. σούπας βούτυρο και μοιράζω εκεί το τριμμένο κασέρι. Τα ψήνω για 15 λεπτά, μέχρι το τυρί να λιώσει. Βγάζω το ταψί (ή τη λαμαρίνα) και ανεβάζω τη θερμοκρασία στους 180°C. Σπάω από 1 αυγό στο κέντρο κάθε πεϊνιρλί. Με ένα πινέλο αλείφω με λιωμένο βούτυρο τα χείλη της ζύμης και ξαναβάζω το ταψί με τα πεϊνιρλί στο φούρνο. Συνεχίζω το ψήσιμο για άλλα 15 λεπτά, μέχρι να ψηθούν καλά τα αυγά και να ροδίσουν τα πεϊνιρλί.
   Τα σερβίρω ζεστά.